Tích phân một chiều

Nếu biết hàm cần tích phân f(x) cư xử như nào, ta có thể chọn được một hàm g(x) có giá trị biến đổi gần giống |f(x)| trên miền cần tích phân, ta có thể biến đổi tích phân thành:

I = ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) g ( x ) g ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d G ( x ) {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{g(x)}}g(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{g(x)}}\,dG(x)}

với:

g ( x ) = d G ( x ) d x {\displaystyle g(x)={\frac {dG(x)}{dx}}}

và g(x) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

∫ a b g ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=1}

Lúc này có thể lấy các điểm xi ngẫu nhiên trong khoảng [a, b] theo phân bố xác suất g(x') để tìm giá trị tích phân:

I ≈ 1 N ∑ i = 1 N f ( x i ) g ( x i ) {\displaystyle I\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {f(x_{i})}{g(x_{i})}}}

Hàm g(x) càng giống f(x) thì phương sai của f(x)/g(x) càng nhỏ và sai số của phép tính càng nhỏ.

Một bất lợi của phương pháp này là sai số có thể lớn nếu hàm g(x) được chọn gần bằng 0 tại những điểm mà f(x) khác 0. Lúc đó, phương sai của f(x)/g(x) có thể lớn đến vô cùng. Lỗi này có thể khó phát hiện khi miền giá trị tại đó g(x) bằng 0 là rất nhỏ.